تبلیغات
ریاضی به زبان ساده - مدل جمعیت
تاریخ : 1390/02/3 | 14:00 | نویسنده : Mahta

مدل جمعیت

در این مقاله هدف ما،بررسی ساده ترین مدل جمعیت است.یعنی مدل جمعیت یک بعدی تعینی.(یعنی فرض می کنیم فقط یک نوع جمعیت باشد و در آن عوامل تصادفی موثر نیستند.)

ما قبل از بیان فرمول مدل جمعیت، مثال زیر را مطرح می کنیم:

مثال:متخصصان بر این باورند که زمین های قابل کشت وزرع، حداکثر می تواند غذای 40 میلیارد انسان را تامین کند،در آغاز سال 1990میلادی جمعیت جهان2/5
میلیارد نفر تخمین زده شد . اگر جمعیت با میزان رشد ثابت 2% در سال افزایش یابد،در چه زمانی جمعیت به حداكثر میزان ذکر شده خواهد رسید؟

حل: 

2/5    = جمعیت اولیه به میلیارد
02/0   = نرخ رشد= r
جمعیت در سال  میلیارد
جمعیت در سال  میلیارد
جمعیت بعد ازn سال میلیارد

حال قرار می دهیم: وn را با لگاریتم گرفتن از طرفین به دست می آوریم : 

  

    در نتیجه :  .

 

یعنی در سال 2093=103+1990 جمعیت به 40 میلیارد نفر می رسد.ما در این مثال، نرخ رشد جمعیت را سال به سال محاسبه کردیم.حال رشد جمعیت را در  پایان هر ماه حساب می کنیم،در مثال بالا نرخ رشد در ماه برابر با :

   می شود.

جمعیت بعد از یک ماه میلیارد
جمعیت بعد از دو ماه میلیارد
جمعیت در سال 1991= میلیارد
جمعیت بعد از n سال = میلیارد

جمعیت در سال  میلیارد

 

حال اگر جمعیت را روز به روز محاسبه کنیم،نرخ رشد دریک روز برابر با:

   می شود.

جمعیت بعد از یک سال میلیارد
جمعیت بعد ازn سال= میلیارد

جمعیت در سال 2093 برابر با :

 

میلیارد  می شود.

حال اگر جمعیت را در هر ساعت محاسبه کنیم،نرخ رشد جمعیت در یک ساعت برابراست با:   .

جمعیت در سال 2093 برابر است با:

 

اگر جمعیت را در هر ثانیه حساب کنیم،جمعیت در سال 2093 بیش تر می شود و به  799/40میلیارد نفر نزدیک می شود.
برای دیدن علت این امر بهتر است به مطلب زیر توجه کنیم:

دنباله ی را در نظرمی گیریم.این دنباله را برای مقدار های مختلف n محاسبه می کنیم:

 

قضیه: موجود است و آن را عدد e می نامیم .

 ...71828182/2=e حال فرض می کنیم نرخ رشد جمعیتr  باشدو جمعیت اولیه را با  و جمعیت بعد از t سال را با  نشان می دهیم.اگر جمعیت را سال به سال محاسبه کنیم:

        و      

و اگر جمعیت را در سال محاسبه کنیم:

 

یعنی بعد ازt  سال درصورتی که در هر  سال، جمعیت را محاسبه کنیم،جمعیت به دو متغیر t (زمان) و n (تعداد تقسیمات زمان)بستگی دارد.بنابر این با نشان می دهیم:

 

حال اگر n را بزرگ و بزرگ تر کنیم،یعنی محاسبه ی جمعیت را در مدت زمان های کوتاه تری انجام دهیم ،مدل ما به مدل واقعی جمعیت نزدیک و نزدیک تر می شود.یعنی اگر n را به سمت بی نهایت میل دهیم ،جمعیت در هر لحظه محاسبه می شود.این مدل را مدل پیوسته می نامیم و آن را با  نشان می دهیم.یعنی:

 

با فرض  ،اگر آن گاه .بنابراین  .

اما :  .

و می توان نشان داد که (توجه : x لزوما" طبیعی نیست) :

 

بنابراین .

یعنی مدل جمعیت پیوسته به صورت زیر است:

 

در این جا r می تواند منفی نیز باشد.یعنی جمعیت یک کشور،سرمایه و... می تواند نزول کند.زمانی که r مثبت باشد، مدل را مدل رشد و زمانی که r منفی باشد ، مدل زوال گوییم.

مجددا" به محاسبه ی جمعیت در مثال ذکر شده در سال 2093 می پردازیم:

 

میلیارد نفر 

بنابراین :

 میلیارد نفر .

بنابراین اولین محاسبه که سال 2093 به عنوان سالی است که کره ی زمین جایی برای زیستن ندارد، صحیح نیست. این سال را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

  میلیارد نفر

        

               

و از آن جا :                    .

یعنی سال موعود با توجه به رابطه ی : 2092=102+1990، سال 2092است.

منبع:مجله ی گنجینه شماره ی 33




طبقه بندی: Farsi،