تبلیغات
ریاضی به زبان ساده - ماجرای رفتگرها در روز برفی
تاریخ : 1390/02/22 | 13:40 | نویسنده : Mahta
ماجرای رفتگرها در روز برفی

روزی روزگاری، در گذشته‌های نه چندان دور، در شهری دو رفتگر زندگی می‌كردند كه هر روز صبح برای رفتن به محل كارشان از چهارچرخه‌های قدیمی همانند هم كه روی دو ریل حركت می‌كرد، استفاده می‌كردند. روزی برف شدیدی شروع به باریدن كرد و طبق معمول دو رفتگر سوار بر چهارچرخه‌هایشان شدند تا به محل كارشان بروند. یكی از آن‌ها كه فعال و پركار بود،برف‌هایی كه روی چهار چرخه‌اش می‌نشست را بلافاصله در جهت عمود بر امتداد حركتش پارو می كرد. ولی رفتگر دوم كه تنبل و خواب‌آلود بود، به محض سوار شدن بر چهارچرخه به خواب رفت. حال فكر كنید با فرض این كه سرعت اولیه ی هر دو سیستم(چهارچرخه+رفتگر و وسایلش)  باشد، كدام یك از آن ها در محدوده‌ی زمانی مشخص، مسافت بیش‌تری را طی می‌كند؟(دو رفتگر هم وزن بوده و وسایل شان كاملا" یكسانند.) 

قبل از هر چیز اجازه دهید یك سری پیش‌فرض‌ها را در نظر بگیریم. اولا":چهارچرخه ها حركتی مستقیم الخط دارند،ثانیا":از اصطكاك صرفنظر می شود و ثالثا":برف به میزان ثابت كیلوگرم در ثانیه، بر هر كدام از چهارچرخه‌ها می‌بارد.

شاید در نظر اول این طور تصور شود كه در محدوده‌ی زمانی مشخص،رفتگر پركار مسافت بیش‌تری را طی خواهد كرد، ولی در كمال تعجّب خواهیم دید كه رفتگر تنبل مسافت بیش‌تری را طی می‌كند، ولی چرا؟

ابتدا وضعیت رفتگر تنبل را در نظر می‌گیریم.در این حالت،جرم برف به جرم سیستم اضافه می‌شود. از آن‌جایی كه هیچ‌گونه برهم‌كنشی با نیروی خارجی در جهت افقی وجود ندارد،پس اندازه‌ی حركت(تكانه)سیستم در جهت افقی پایسته می‌ماند.

اگر جرم اولیه ی سیستم باشد،آن‌گاه جرم سیستم در زمان t برابر خواهد بود با:.
تكانه‌ی اولیه برابر با  است،به دلیل پایستگی تكانه خواهیم داشت: .
پس سرعت این سیستم در هر لحظه با معادله ی زیر بیان می شود: .
حالا وضعیت رفتگر پركار را در نظر بگیرید. هنگامی كه دانه‌های برف روی چهارچرخه‌ی او می‌نشینند،سرعت چهارچرخه را كسب می‌كنند و در نتیجه مقداری تكانه به دست می‌آورند. از آن‌جا كه رفتگر پركار به محض نشستن برف، آن را از روی چهارچرخه اش در جهت عمود بر امتداد حركتش به اطراف پارو می‌كند،پس عملاً در هر لحظه،مقداری از تكانه‌ی این سیستم از دست می رود و این یعنی: .از آن جا كه به برف،امكان جمع شدن بر روی چهارچرخه‌ داده نمی‌شود، جرم سیستم،مقدار ثابتی است و تغییر اندازه‌ی حركت سیستم، صرفاً به سرعت چهارچرخه بستگی خواهد داشت:
با تركیب دو معادله‌ی بالا، معادله‌ی زیر برای سرعت این سیستم در هر لحظه نتیجه می شود:.

لم: اگر x عدد حقیقی نامنفی دلخواهی باشد آن‌گاه: .
این لم به كمك قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود و در كتب استاندارد حساب دیفرانسیل و انتگرال آمده است.

اگر قرار دهیم،آن گاه با توجه به لم فوق خواهیم داشت:.

بنابراین با توجه به روابط (*) و (**) و رابطه ی اخیر،در محدوده‌ی زمانی مشخص،رفتگر تنبل بیش تر از رفتگر پركار،مسافت طی می كند.(شكل زیر)

 

منبع:100 مساله و معمای جالب فیزیك و ریاضی
 




طبقه بندی: Farsi،