تبلیغات
ریاضی به زبان ساده - چقدر به شهود ریاضی خود اعتماد دارید؟
تاریخ : 1390/03/2 | 09:04 | نویسنده : Mahta
چقدر به شهود ریاضی خود اعتماد دارید؟

مقاله را با طرح مساله ی زیر آغاز می كنیم: 

مساله:مستطیل PQRS با طول و عرض به ترتیب 15 و 6 سانتی‌متر را در نظر بگیرید.مساحت مثلث A برابر 4 سانتی متر مربع و مساحت مثلث B برابر 16سانتی متر مربع می‌باشند. مساحت مستطیل C چقدر است؟

  

 شكل 1                    

راه حل اول:مساحت مثلث SQR برابر است با: 45=2/(6×15).بنابراین مساحت مستطیل C چنین محاسبه خواهد شد: 25=4-16-45 .

راه حل دوم:با استفاده از قضیه ی تالس و با توجه به این كه نسبت مساحت های دو مثلث B به A برابر 4 است پس:2=VQ/WS=VX/WX=QX/SX و لذا مساحت C برابر 20 سانتی متر مربع است.

در این جا می بینید كه حل این مساله به دو جواب مختلف منجر می شود.اما مشكل كجاست؟

در حقیقت باید گفت كه با فرض های مساله،X نمی تواند بر پاره خط SQ واقع شود.

اگر PT=a و VQ=b قرار دهیم آن گاه 16=2/(ab) و و لذا خواهیم داشت:.از این جا دو سری جواب به صورت زیر به دست می آوریم:

 و 

 و  

پس شكل مساله با توجه به مفروضات آن به یكی از دو صورت زیر رسم می شود:

  

شكل 2 

شكل 3

مساحت C در شكل 2 برابر  و در شكل 3 برابر  است .

حالت دیگری كه می توان در نظر گرفت از این قرار است:(در این حالت C دیگر مستطیل نیست.)

 

شكل 4

پارادوكس كیوری(Curry):
طرح مساله ی قبل ما را به سمت پارادوكس مشهوری به ‌نام پارادوكس كیوری سوق می دهد. در شكل زیر در هر دو بخش چنین به نظر می‌رسد كه یك مثلث قائم الزاویه به دو مثلث قائم الزاویه ی كوچك‌تر و یك مستطیل تقسیم شده است جز این كه دومی یك واحد مربع كم تر دارد.در اولی مستطیل گوشه ی سمت راست پایین یك مستطیل 5×3 و در دومی یك مستطیل 8×2 می‌باشد.

 

شكل 5

با مقایسه‌ی شیب وترهای سه مثلث قائم الزاویه در شكل 5 می‌بینیم كه:

 

توضیحی كه در مورد این پارادوكس مطرح می‌شود این است كه مثلث بزرگ در واقع یك مثلث نمی‌باشد!وتر مثلث بزرگ شكستگی دارد كه در قسمت بالایی،اندكی متمایل به داخل است در حالی كه در قسمت پایینی،اندكی متمایل به خارج است.


شكل 6

مساحت بین دو قطعه ی شكسته،برابر 1 واحد مربع است.

طول اضلاع مجاور به زاویه ی قائمه به طور تصادفی انتخاب نشده‌اند.طول این اضلاع در سه مثلث عبارت هستند از:(2 ، 5) ، (3 ، 8) و (5 ، 13)  كه اعداد فیبوناتچی می‌باشند.

حالت كلی پارادوكس: 

اعداد فیبوناتچی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

 (   و    

اكنون در شكلی مانند شكل 5، اضلاع مجاور به زاویه ی قائمه ی مثلث ها را به صورت:در نظر می گیریم.  

در این لحظه،توجه شما را به اتحاد كاتالان جلب می كنیم:

    

در این رابطه،nوr اعداد طبیعی بوده و n>r است.(برای دیدن اثباتی از این اتحاد به:www.planetmath.org مراجعه نمایید.)
با قرار دادن 2+n به جای n و 2=r در اتحاد كاتالان داریم:

(*) 

از طرفی:

(**)  

در روابط (*) و (**) برای n زوج ،هر دو عبارت مثبت خواهند بود و لذا خواهیم داشت:  .

و هم‌چنین برای n فرد،نتیجه می‌شود كه :.

این كسرها در حقیقت،شیب سه وتر مثلث های قائم الزاویه هستند و همان توضیحی كه در حالت خاص آمد را برای حالت كلی پارادوكس،خواهیم داشت.

توضیح دیگری كه در مورد این پارادوكس می توان ارائه كرد بر اساس مقایسه ی مساحت ها است.در قسمت بالایی شكل 5 داریم:5/32=2/(5×13)=مساحت كه برابر است با:

32=5+12+15=مساحت مثلث زرد+مساحت مثلث قرمز+مساحت مستطیل

و این تناقض است.

در قسمت پایینی شكل 5 نیز با یك روش،مساحت 32 واحد مربع و با روشی دیگر 5/31 واحد مربع می شود كه تناقض است.

پارادوكس 65=64 :

اكنون باید قادر باشید كه مطلب زیر را توجیه نمایید: 

منبع:

www.math.nus.edu.sg




طبقه بندی: Farsi،